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美国全国数学管理者大会（NCSM）把解决问题定义为：将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情况的过程。这一理念用在解决数学问题上，就是指学生将已有的数学知识、方法灵活运用于解决数学与现实生活中的问题。这种解决数学问题的能力是学生数学素养的重要标志。但小学生受年龄所限，知识积累、生活经验、社会实践均不丰富，我们该如何培养他们解决数学问题的能力呢？
一、培养问题意识——善于提问
古人云：“学源于思，思源于疑。”培养问题意识就是要鼓励学生质疑；鼓励学生有自己独特的见解；鼓励学生提出有价值的问题。在教学过程中，要允许学生随时提问，并随时对学生所表现出的提问行为、怀疑和批判精神等进行表扬和鼓励，从而使他们敢于提问、善于提问。
二、学会正确审题——精准分析
众所周知，“理解了题意，等于题目做出了一半。”解决问题的难度是由问题的情节和数量关系的状况所决定的，要想顺利解决数学问题就得认真审题。审题的目的在于使学生理解题意，即理解问题的情节部分，知道问题讲的是一件什么事情，事情的经过是怎样的，已知了哪些条件，要求什么问题等等。在这个基础上，再根据题目中的一些关键词语进一步分析题目中的数量关系。在教学过程中，我总结出了“读、找、圈、想、算”五步解题法，即
2.请参照《标准》对于方程学习的要求，列举教学中的一个案例，说说如何促进学生形成符号意识或模型思想。
《数学思想方法》共分十三章，分为三个部分。第一章至第四章为上篇，主要介绍数学思想方法的两个源头、数学思想方法和几次重要转折、数学的真理性以及现代数学的发展趋势，从时间维度和宏观上用粗线条勾画出数学思想方法发展的概貌。其中第三章“数学的真理性”对于了解现代数学观、确立现代数学教学观颇有帮助。但是，考虑到教学课时较坚以及某些地区小学教师的专业水平有限，将此为列为选学内容。第五章至第十章为中篇，该篇分别对数学教学中常用的抽象与概括、猜想与反驳、演绎与化归、计算与算法、应用与模型、分类、数形结合、特殊化学数学思想方法，为在教学中加以应用打下扎实的基础。第十一至第十三章为下篇，该篇主要阐述了数学思想方法与素质教育之关系、数学思想方法教学的主要阶段及其教学原则，以及三个数学思想方法教学案例。希望这部分内容，能对在小学数学教学中加强数学思想方法教学起到一定的引领和促进作用。
学习指导部分设置了学习目标、学习重点、难点解析、回顾与思考、阅读资料等栏目，可帮助学员更好地理解和掌握课程内容。阅读资料所选材料是对相关教材内容的补充和拓宽，供学有余力的学员自学。
如何在低段数学教学中渗透“极限”思想
1．在实际问题中理解引进字母表示的意义
从研究特定的数到用字母表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃，也是代数学习的首要环节。应该让学生在大量的运用字母表示具体情境中的数量关系的活动中去学习，如用字母表示算术运算的法则或运算律，用字母表示公式、从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示。
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，是将问题进行一般化的过程，一般化超越了具体实际问题的情景，深刻地揭示和指明存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。一般化和符号化对数学活动和数学思考是本质的，一般化是每一个人都要经历的过程。
2．理解符号所代表的数量关系和变化规律
（1）使学生在现实情境中理解符号表示的意义和能解释代数式的意义
如代数式6p可以表示什么？学生可以解释为：如果p表示正六边形的边长，6p可以表示正六边形的周长；如果p表示一本书的价格，6p可以表示6本书的价格；6p也可以表示一张光盘的价格是一本书的价格的6倍；如果1个长凳可以坐6个小朋友，6p表示p个长凳可以坐6p个小朋友等。
（2）用关系式、表格、图象表示变量之间的关系
如制成一个尽可能大的无盖长方体。
会用符号进行表示，也就是会把实际问题中的数量关系用符号表示出来，这个过程叫做符号化。符号化的问题已经转化为数学问题，随后就是进行符号运用和推理，最后得到结果。这就是数学建模的思想，事实上，我们所熟悉的方程和函数都是某种问题的数学模型。
（3）能从关系式、表格、图象所表示的变量之间的关系中，获取所需信息如从统计图表中获取信息，并推测其背后的规律等。
《课标》从第二学段开始接触用字母表示数，这是学习数学符号的重要一步。对学生而言，从研究一个个特定的数到用字母表示一般的数，可以说是认识上的一个飞跃。对初学者来说，往往会感到困难，或者是形式的死记硬背，而不解其意。案例：传统教材六年级数学中C=πd，部分学生往往对这个用符号表示的公式感到陌生，原因就是没有建立符号化后的数量关系与文字表述之间的联系，因此，符号化后感到特别抽象。那么我们在教学过程中要尽量的从实际问题中引入，使学生感受字母表示数的意义。在字母描述数学语言，主要从如下三个方面体现：第一，用字母表示运算法则、运算定律及计算公式。这种一般化是基于算法的，常常开始于算术中对数的运算，算法的一般化，深化和发展了对数的知识。案例：如加法交换律：a+b=b+a 乘法结合律：(ab)c=a(bc)在这里，a、b、c表示的是任意实数，代数中用字母表示数，把人们关于数的知识上升到更一般的水平，使得算术关于数的理论有了一般化、普遍化的意义，是从算术实现向代数的抽象的一个飞跃。用符号表示数也是学生学习“一般化”、“形式化”地认识和表示研究对象的开始。第二，用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系。
案例：★如果每条毛巾a元，那么b条毛巾的价格是ab元。★ 长方形的面积公式是S=ah★圆的面积公式是S=πr2第三，用字母表示数，便于从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，并确切地表示出来，从而有利于进一步用数学知识去解决问题。案例：★用字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的等量关系列方程。★用字母表示某一变化的过程中相关联的两个变量，利用给出的变量间的相互关系列出函数表达式等等。如第二学段中的正反比例关系就是用x、y描述出来的
浅谈极限思想在小学数学教学中的渗透
摘 要： 极限作为数学中常用的基本概念之一，是用以描述变量在一定变化过程中的极端状态，是一种将事物无限逼近某一状态的概念。极限思想是一种重要的数学思想，是对数学知识的本质反映，是形象思维向抽象思维转化的纽带。在学生学习数学知识的启蒙阶段对其渗透极限思想，不但可以提高学生的抽象思维能力，而且有助于学生掌握学习数学的思想和方法，使他们受益终生。本文阐述了极限思想在小学数学教学中渗透的必要性，并结合数学公式、概念、练习、总复习等教学案例，论述了极限思想在小学数学教学中渗透的途径及渗透过程中应注意的问题。
关键词： 小学数学教学 极限思想 渗透
一、极限思想及其历史简介
17世纪微积分创立伊始，无限概念便成为人们关注的主题。无穷小的概念是微积分建立的一个基础，在研究物体运动变化时，先把它看做是可以无限减少的量，这时它比零大，同时又把它看做零而忽略不计，即认为它是零。数学家们为了消除这种矛盾，进行了长期不懈的探索。19世纪法国数学家柯西比较完整地阐述了极限概念及其理论，在柯西的思想中，函数不会直接趋近于极限，必须经过含有无穷小的表达式。他把无穷小视为以零为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识。在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限接近于零。柯西的极限论是一种潜无限的过程，而极限的完成又表现为实无限。可见，柯西的理论中潜无限与实无限在某种程度上达到了统一，但柯西的极限定义中仍有许多不严格的地方，后经维尔斯特拉斯的进一步改进，终于用“ε-δ”语言将其精确化了。
二、极限思想在小学数学教学中渗透的必要性
在小学阶段学习的数学相对比较简单，学生可能在走出校门后不到两年就将所学的数学知识淡忘了，但是，那些所学习到的数学思想和数学方法将牢记于心，不管日后在工作中还是在生活中，都可以随时发挥作用。所以，将数学思想和方法不断地渗透给学生，才是学生掌握知识的关键。
在小学数学教材中，有很多知识点是与极限思维有关的，如自然数、奇偶数和循环小数等涉及数量无限多的概念，以及直线、射线、角的边、平行线的长度等涉及无限延伸性的几何概念等。教师在教学过程中如能刻意挖掘，并适当地将其蕴涵的极限思想和方法渗透给学生，那么不仅可以让学生掌握知识点和开拓思维，而且可以让学生在以后的生活和工作中随时发挥作用。
三、在小学数学教学中的渗透极限思想的重要途径
小学阶段的学生由于正处在身心发展的阶段，是形象思维向抽象思维转化的阶段，对极限思想的理解具有局限性，但并不意味着在教学过程中要淡化对极限思想的渗透。在教学过程中，教师可以利用推导公式的过程、学习新概念的过程、练习和总复习的过程对学生进行渗透，提高学生的抽象思维能力。
（一）在推导公式的过程中渗透极限思想
在小学数学教学中，会涉及大量的关于数学公式的推导，有些公式的推导就是运用的极限思维推导出来的，教师可以利用这一过程潜移默化地对学生进行渗透。最典型的运用极限思想推导出公式的例子就是圆的面积。
案例一：教学“圆的面积”
在教学“圆的面积公式的推导”这节课时，教师往往让学生把一个圆连续对折，在不断对折过程中，学生就可以发现：对折的次数越多，所得到对折后的图形越来越接近与三角形，展开后，沿折痕把圆平均分成若干个近似等腰三角形，等腰三角形的两腰就是圆的半径，而底边就是圆周长的一部分。在这个环节学生能够感受到由曲变直的过程，领会从近似分割到无限细分的数学思维方法。
在公式推导过程中，运用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在有限分割的基础上让学生想象无限细分的最终状态，这样不但使学生能够牢记公式，而且能将无限逼近的极限思想渗透到他们的脑海中。
（二）在学习新概念的过程中渗透极限思想
新概念对于小学生来说是新接触的知识，是一个从无到有的过程，也是让学生对数学中的专业术语的认识与理解，也为他们以后的学习奠定一定的基础。有些新概念中蕴含一定的极限思想，教师在教授的同时可以适当地渗透给学生，帮助他们更好地理解新概念。
案例二：教学“循环小数的概念”
在教学“循环小数的概念”这节课时，它的概念性较强，同时在这节新课中也蕴含着极限的思想。在讲循环小数的概念之前教师往往会让学生讨论：0.999…和1哪个大？学过方程的学生可能会将0.999…设为x，那么10x=9.99…，10x=x+9，9x=9，那么x=1，所以0.999…=1。那么没有学过方程的学生可以在一些算式当中找规律：1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.999=0.0001…，1-0.999…=？，这时学生就可以从这些算式中发现当小数部分的9增加一位时，其数值就多了一个0，那如果0.999…中小数部分有无穷多个9，那么最终结果会无限趋近于0。
（三）在练习过程中渗透极限思想
数学的学习一定离不开练习，练习是对所学知识的巩固和训练，但是在练习中教师往往忽略了对学生数学思想和方法的训练，数学思想和方法的形成是需要不断积累、不断应用达成的。所以培养学生的数学思想和方法不仅需要老师在讲授新课过程中潜移默化地渗透，而且要在练习过程中不断巩固和训练。
从图中可以直观地看出随着分数分母不断增加，正方形所划分的空间越来越小，而空白部分的面积越来越大，大到不断逼近正方形的面积1，那么当有无穷多项相加时，其结果趋近于1。
（四）在总复习过程中渗透极限思想
总复习是把前面学过的相对独立及零散的知识点聚集起来，以回顾、归纳、总结等方式梳理知识点，形成知识网，明确各个概念之间的联系，使数学知识在学生头脑之中更加完整化、条理化和系统化。
案例四：教学“平面图形的整理与复习”
在这节课中，教师把学生所学过的平面图形罗列出来，包括长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形及圆，对它们的特点进行分析。如果借助极限思想以梯形的面积公式为核心进行梳理，那么又该如何推导出其他图形的面积公式呢？梯形面积公式：S=（上底+下底）×高÷2，假设让梯形的上底无限趋近于0，那么所得的图形近似于三角形，S=下底×高÷2，即三角形的面积公式：S=（上底+下底）×高÷2。同理，把长方形两腰趋向垂直于底、正方形的四条边趋近于相等、平行四边形党的上下底边趋于相等，都可以推导出各平面图形的面积公式。
S=（a+b）h÷2
通过构建知识网络系统图，使学生对所学过的平面图形的面积公式有了更深刻的理解，让学生知道解决问题并不只有一个方法，帮助学生形成较完整的认知结构，使极限思想潜移默化地印在学生的头脑之中。
四、极限思想在小学数学教学中渗透的注意问题
在小学阶段，学生的逻辑思维和抽象思维能力较弱，而极限思想的逻辑性和抽象性都很强，小学生不易理解。首先，在教学过程中教师要由浅入深，从具体到抽象，从感性到理性，根据学生在学习各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升。其次，极限思想方法不像一般数学知识那样，通过几节课的学习就可以掌握。只有通过不断循序渐进和反复训练，才能使学生真正有所领悟。最后，教师要努力挖掘教材中可以进行极限思想渗透的知识点，将极限思想融合于小学数学教学之中。
参考文献：
[1]李军.极限思想在小学数学教学中的渗透[J].黑龙江教育，2008.
[2]于雅洁.极限思想在小学数学教学中的渗透[J].课程教育研究（新教师教学），2013.
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[4]李至艳.极限思想在小学数学中的渗透[J].小学教学研究，2009.
[5]邹煊享.小学数学教学建模[M].广西教育出版社，2003.
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